La operación de la potenciación se define en los números
naturales como una multiplicación abreviada. Se puede abreviar la multiplicación
cuando los factores son iguales.
Tenemos 2 . 2 . 2 esto lo podemos representar por 2³ donde el número 2 recibe el nombre debase y es el numero que se repite y el
número 3 es el exponente,que son las veces en que se repite la base, el resultado de la multiplicación es 8, esta es LA POTENCIA
Para los números enteros, solamente debemos tener
presente que la base sea positiva o
negativa.
Es decir: a . a . a . a . . . = an ,
para todo a ϵ z
y n ϵ N
También
debemos tener en cuenta la ley de los signos, aplicada en la multiplicación de
los números enteros.
Una ecuación es una igualdad que contiene un término desconocido que mediante UN PROCESO encontramos su solución.
En toda ecuación debemos identificar dos lados:
lado izquierdo = lado derecho
observe que lo separa el signo igual. Siempre en la ecuación debemos mantener por línea de trabajo un solo signo igual y se trabaja o se desarrolla la ecuación hacia abajo.
Para la ecuación : 7x + 4 = -12
tenemos a 7x + 4 en el lado izquierdo y a -12 en el lado derecho, donde la letra x es la incógnita o variable que edebemos encontrar.
Siempre la incógnita es una letra minúscula que no conocemos y vamos a hallar, es un número determinado ; así toda ecuación tiene una sola solución, la incógnita no puede tener dos valores diferentes.
Empecemos el tema trabajando por partes:
1° ECUACIONES ADITIVAS:
Son ecuaciones de la forma: x + a = b , donde a y b son números enteros, es decir pueden ser positivos ó negativos.
Se trata de dejar la x al lado izquierdo sola sin ninguna cantidad que la acompañe, esto se llama: despejar la incógnita, teniendo encuenta que la incógnita debe quedar positiva.
Observamos la cantidad a que acompaña a la incógnita , teniendo encuenta la operación que realiza : suma ó resta.
Movemos la cantidad a hacia el lado derecho, CAMBIÁNDOLA DE OPERACION : tenga encuenta que la operación en los enteros la determina el signo de las cantidades.
Ejemplo 1 : Hallemos el valor de x en la ecuación:
x + 8 = - 15 , observamos que la incógnita se encuentra acompañada por el 8 , y éste 8 está sumando.
Pasamos el 8 del lado izquierdo al derecho junto al -15 y como está sumando pasa a RESTAR, quedando así:
x = -15 - 8 , como las dos cantidades del lado derecho se puede trabajar, entonces las sumamos porque tienen igual signo:
x = - 23 , y este es el valor de la incógnita que nos piden hallar.
Ahora verifiquemos :
la ecuación inicial es : x + 8 = - 15
en vez de x escribimos el valor que encontramos:
-23 + 8 = -15
el resto de la ecuación se escribe, y sumamos lo planteado :
- 15 = -15 corrrecto se verifica la igualdad.
Ejemplo 2 : Hallemos el valor de la incógnita en la ecuación :
m - 12 = - 9
Igualmente : 12 acompaña a la incónita y está restando; pasa al otro lado del signo igual con operación contraria : a sumar
m = - 9 + 12 ,
observe que el - 12 queda como + 12 por que cambió de operación.
Operamos : m = 3
VERIFICAMOS : La ecuación : m - 12 = - 9
reemplazamos m=3 3 - 12 = - 9
operamos: - 9 = - 9 se verifica
Ejemplo 3 : Resolver : 23 - n = - 30
Observamos que aparece 23 acompañando a la incógnita, y está sumando: 23 = + 23 , pasa al otro lado de la igualdad a restar, tenga en cuenta que la variable está al lado izquierdo y es negativa, luego sigue quedando negativa ya que no la cambiamos de lado:
- n = - 30 - 23 , vemos que el 23 quedó restando ( como - 23 )
pero en los enteros - 30 - 23 es una suma , luego operamos:
- n = - 53 , la incógnita no puede quedar negativa, luego lo que hacemos es cambiar el signo a TODO lado izquierdo y lado derecho, quedando así :
n = 53 que es el valor pedido.
Verifiquemos: 23 - n = - 30
reemplazamos n, 23 - 53 = - 30
operamos :- 30 = -30 , se verifica la igualdad
PRESTA ATENCION AL SIGUIENTE VIDEO:
2° ECUACIONES MULTIPLICATIVAS
Son ecuaciones de la forma ax = b y x / a = b
Donde las cantidades a y b son números enteros
ECUACIONES DE LA FORMA ax=b
Aquí la cantidad a está multiplicando con la incognita; recuerde que la operación multiplicación no se utiliza el signo por, sino el punto ó inclusive no se hace y de tomas manera está implísita la operación.
De manera semejante que el caso anterior: se trata de despejar la cantidad a que está multiplicando con la incógnita pasándola al otro lado de la igualdad con operación contraria : a DIVIDIR, luego baja y dividide a b.
Halle el valor de la incógnita en las ecuaciones:
Ejemplo 1 : 8x = -16
Observamos que la cantidad que acompaña a la incógnita es el 8 y está multiplicando, luego la ubico al otro lado del sigjo igual para que divida a -16, quedando así:
x = -16 , realizamos la división, pero se escribe debajo:
8
x = - 2 , que es el valor de la incógnita.
Verificamos : La ecuación : 8x = -16
reemplazamos x= -2 : 8 . (-2) = -16
multiplicamos : -1 6 = - 16 , se verifica
Ejemplo 2 : - 4 m = 20
Observamos a -4 que acompaña a la incógnita, y está multiplicando; lo pasamos al otro lado del signo igual con operación contraria: divide.
Tenga en cuenta que cambia de lugar con todo y signo ya que la operación es división:
m = 20
-4
luego : m = - 5
Verificamos : -4 m = 20 , ecuación inicial
-4 . (-5) = 20 , reemplazando m
20 = 20 ; se verifica la ecuación
OBSERVE AHORA EL VIDEO:
ECUACIONES DE LA FORMA x = b
a
Aquí la cantidad que acompaña a la incógnita está dividiéndola, luego despejo la incógnita pasando a a al otro lado del signo igual con operación contraria: pasa a MULTIPLICAR.
Hallar el valor de la incógnita en las ecuaciones :
Ejemplo 1 : x = -4
9
Despejamos la incógnita pasando al 9 que está dividiendo la variable
al otro lado del signo igual a MULTIPLICAR:
x = -4 . 9
x = - 36 , que es el valor de la incógnita
Verificamos : x = -4
9
reemplazamos el valor de x : -36 = -4
9
dividimos : - 4 = - 4 , se verifica
Ejemplo 2 : m = - 11
- 7
-7 acompaña a la incógnita y está dividiendo, luego sube a multiplicar al otro lado de la incógnita:
m = -11 . ( -7)
m = 77
Verificamos: m = -11
-7
reemplazando: 77 = -11
- 7
- 11 = - 11 , se verifica la igualdad
OBSERVE EL VIDEO :
3° ECUACIONES COMBINADAS
Son ecuaciones de la forma : ax + b = c
donde a , b , c son números enteros.
Debemos tener en cuenta todo lo anterior en los despejes, pero recordar que primero despejamos las cantidades que se están SUMANDO O RESTANDO y de último lo que se está MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO.
Despejemos: -3n + 9 = - 21
Primero despejamos la cantidad que suma o resta con la incógnita: en éste caso es el 9 que está sumando : + 9
pasa al otro lado del signo igual a restar junto al - 21
- 3n = - 21 - 9
realizamos la operación: - 3 n = - 30
Ahora podemos despejar la cantidad que está multiplicando a n :
n = -30 , pasó a dividir
-3
n = 10 , que es el cociente
Verificando: la ecuación: -3n + 9 = - 21
reemplazando n=10 : -3 . (10) + 9 = -21
por la prioridad de las operaciones primero realizamos la multiplicación:
Paramultipicar dos números enteros debo tener en cuenta LA LEY DE LOS SIGNOS , que me indica QUE SIGNOS IGUALES EL PRODUCTO ES POSITIVO Y SIGNOS DIFERENTES, EL PRODUCTO ES NEGATIVO.
Tenemos : 8 . 10 = 80 ( -9 ) . ( - 7) = 63 ; los factores son de igual signo luego el resultado o producto (para la multiplicación) es POSITIVO.
Para ( - 7 ) . 6 = - 42 4 . ( - 9 ) = -36 , tenemos factores de diferente signo, luego el resultado es NEGATIVO.
Si tenemos varios factores debemos multiplicar de a dos y el producto con el siguiente hasta agotar las cantidades dadas:
-3 . 9 . ( -10) . 7 . (-3 ) . (-1 ) =
-27. ( -10) . 7 . (-3 ) . (-1 ) =
270 . 7 . (-3 ) . (-1 ) =
1890 . (-3 ) . (-1 ) =
- 5670 . ( -1) = 5679
3. DIVISION CON NUMEROS ENTEROS
En la división de números enteros tenemos en cuenta LA LEY DE LOS SIGNOS.
Se trabaja de igual manera que la multiplicación : de a dos cantidades, teniendo en cuenta que la divisón de enteros es EXACTA.
4. PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES :
Cuando tenemos un polinomio y el él se encuentran operaciones combinadas : sumas, restas, multiplicaciones y divisiones ; se DEBE TENER ENCUENTA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES, ATENDIENDO A:
PRIMERO SE TRABAJA O SE REALIZAN LAS MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES , LUEGO SE TRABAJAN LAS SUMAS Y LAS RESTAS
EJEMPLO 1 :
4 . ( -3) + 9 - 2 - 15 : (-3) - 3 . ( -10) =
Observamos el polinomio y trabajamos primero las multiplicaciones y las divisiones :
4 . ( -3) + 9 - 2 - 15 : (-3) - 3 . ( -10) =
-12 + 9 - 2 - ( -5) - ( -30 ) =
ya no queda ninguna multiplicación ó division planteada, ahora realizamos las sumas o restas, para ésto primero trabajamos los paréntesis, debemos eliminarlos antes de operar, teniendo en cuenta el signo que hay antes de cada uno :
- 12 + 9 - 2 + 5 + 30 = - 14 + 44 = 30
EJEMPLO2 :
- 12 + 6 . (-2) . ( -7) + 24 : ( -6) - 4 . (- 3)=
- 12 + 84 + ( -4) - ( -12 ) =
- 12 + 84 - 4 + 12 = 96 - 16 = 80
5. OPERACIONES CON LA MISMA PRIORIDAD :
En este caso la tienen la multiplicación y la división, cuando aparecen en un polinomio y no hay signos de agrupación, se realiza en el mismo orden como aparece , se trabaja de izquierda a derecha: 120 : ( -2 )ten cuenta que es una división
